Кроме самоподобия фракталам присуща дробная размерность. Упрощенно её можно вычислить по формуле R = ln N / ln k, где N – число одинаковых частей, на которые разбивается самоподобный объект, имеющий в k раз меньший пространственный размер. Для пояснения воспользуемся уже знакомым рисунком:
 

Как видно из рисунка, из исходных треугольника и квадрата можно получить соответственно 3 и 4 подобные фигуры в 2 раза меньшего размера, а из кубика получается 8 маленьких кубиков. Так что, для квадрата R = ln 4 / ln 2 = 2 (вспоминаем школьные логарифмы или просто верим), для куба - R = ln 8 / ln 2 = 3, а вот для треугольника R = ln 3 / ln 2 = 1,585. Дробная размерность показывает, что из треугольника на рисунке можно построить фрактал, если продолжать процесс деления сторон:

На необычные качества треугольника ещё в 1915 году обратил внимание польский математик Вацлав Серпинский, а исследованная им ломаная линия получила название «треугольник Серпинского».

Именно такие самоподобные объекты дробной размерности Мандельброт назвал «фракталами».

Что же необычно в «треугольнике Серпинского»? В отличие от других линий, здесь длина ломаной бесконечна! Попробуем в этом убедиться. Для этого, начиная с равностороннего треугольника со стороной а длиной в 1 метр, на каждом этапе построения (см. рисунок) будем считать длину «треугольника Серпинского» как сумму длин сторон всех треугольников:

По таблице хорошо видны тенденции, присущие всем фракталам: размер стороны (масштаб) уменьшается на каждом этапе построения, а общая длина при этом увеличивается. Если продолжить построение, то на каком-то n-ом этапе ломаная будет состоять из 3×3^n отрезков длиной а / 2^n каждый. Полная длина ломаной составит:

Таким образом, измеренная длина фрактальной ломаной, во-первых, всегда будет зависеть от этапа построения; во-вторых, согласно формуле с увеличением n длина ломаной будет бесконечно увеличиваться. И это относится ко всем фракталам - с уменьшением масштаба измерения длина кривой неограниченно растет.

Есть, правда, один важный фактор, отличающий реальный самоподобный объект от идеального математического: у реальных объектов существует минимальный масштаб измерения Аmin.

Представьте, что вы рисуете «треугольник Серпинского» из нашего примера карандашом на бумаге. Пусть начальная длина стороны А = 1 м, и карандаш оставляет линию толщиной t = 0,1мм = 10-4 м. Понятно, что процесс построения остановится, как только длина стороны треугольника сравняется с толщиной линии. Нетрудно подсчитать, что это произойдет на шаге с номером n, когда минимальный масштаб Аmin = А / 2^n станет равным толщине линии t. Можно посчитать, что это произойдёт достаточно быстро - при n = 13. При этом длина линии будет примерно равна 584 м(!). Так что реальная самоподобная ломаная имеет конечную длину.

 

 

2) «Кривая Минковского» создана математиком Германом Минковским (ориентировочно в период 1896-1906 г.г.). Кстати, он был одним из учителей Эйнштейна.

3) «Кривая Коха». Выпуклая кривая носит название «Снежинки Коха», она была придумана Гельгом фон Кохом в 1904 году, остальные изображения – её вариации.

4) «Кривая Леви» – фрактал, предложенный французским математиком П. Леви. Кстати, он был одним из учителей Бенуа Мандельброта.

5) «Коврик Серпинского» (1916г.)

6) «Кривую дракона» придумал физик NASA Джон Э. Хейтуэй, а подробную теорию он разработал совместно с Хартером и Бенксом. Фрактал стал известен в 1967 году после того, как о нём написал Мартин Гарднер. Кривая действительно несколько напоминает дракона с когтистыми лапами и разверстой пастью.

Продолжение следует...