Геометрические фракталы - это самые простые примеры фракталов, которые долгое время воспринимались как красивая математическая абстракция. Но оказалось, что фрактальными свойствами, правда, более сложными с математической точки зрения, обладают и хорошо знакомые людям объекты, к примеру, кроны деревьев.

Конечно, не каждый занимался посадкой деревьев, но все представляют, как у невзрачного саженца постепенно добавляются веточки, разрастается и густеет крона. Также происходит и при построении фрактального дерева. Сначала выбирается «саженец» (форма ветки), затем каждая ветка «саженца» заменяется подобной веточкой меньшего размера, а дальше этот процесс просто повторяется, как показано на рисунке ниже.

На видео этот процесс выглядит более интересно, как в ускоренной съемке. Но уже через минуту глаза перестают различать новые ветки и замечают только усиливающуюся густоту кроны. Это из-за того, что все реальные фрактальные объекты, в данном случае – ветки, имеют конечные размеры.

 
В зависимости от формы выбранной ветки можно получить изображение разных видов «деревьев», например, ёлочек, сосен или каких-нибудь другие видов:

Трудно удержаться, чтобы не продемонстрировать в рассказе о деревьях ещё один абстрактный геометрический фрактал «дерево Пифагора», который строится из квадратов и треугольников.

Если же внимательно приглядеться к окружающим нас деревьям, то можно различить у них как повторяющиеся части, так и «случайные отклонения от шаблона». Но фрактальная геометрия как раз и предназначена для исследования природных, а не идеальных объектов, и соответствующие фракталы называются стохастическими.

Сравните изображения выше с фотографиями деревьев средних широт, которые специально, для удобства, показаны без листьев, попробуйте найти в них форму ветки, которая часто повторяется:

У экзотических деревьев «фрактальность» более заметна:

А теперь полюбуемся на фотографии молний:

И внимательно рассмотрим карты бассейнов рек Амазонка и Днепр:

А здесь уже не карта, а фотография реки с притоками со спутника:

Снова съемка со спутника, но теперь перед нами вид на горные хребты:

Нужны ли здесь математические доказательства, чтобы поверить, что перед нами фракталы?

Лучше расскажу историю о «парадоксе Ричардсона».

В начале XX века английский геофизик Льюис Фрай Ричардсон занимался измерением протяженности побережья Великобритании. Но используя единицу длины 100 км, он получал длину береговой линии около 2800 км, а если использовал единицу длины 50 км, то общая протяженность составляла около 3400 км, то есть примерно на 600 км длиннее.

Конечно, если использовать при измерении меньший масштаб, можно учесть больше изломов, и в результате получится большее число. А если уменьшать масштаб бесконечно? Продолжая чисто логические рассуждения, Ричардсон пришел к выводу, что береговая линия, ограничивающая конечную площадь, должна иметь бесконечную длину. Парадокс! Но мы уже знаем, что это проявляются фрактальные свойства объекта, в данном случае побережья, и на самом деле длина конечна из-за конечных размеров инструментов, которыми производится измерение.

Границы государств, если только они следуют естественным ориентирам, а не проведены линейкой по карте (как, например, граница между Египтом и Суданом), – тоже фракталы. Долгое время длина границы между Португалией и Испанией, приведенная в официальных справочниках этих государств, отличалась на 20% поскольку при её измерении с каждой стороны были использованы различные масштабы.

И только после выхода в свет книги Б. Мандельброта, где было собрано множество математических и физических примеров, попадающих под определение фракталов, стало ясно, что фрактальными свойствами обладают многие географические объекты – реки, горы и горные ущелья, океанские и морские побережья.

Таким образом, когда вы отдыхаете на природе (в лесу, на речке или на море, в горах или на островах), вы повсюду окружены фракталами. Так может быть, не только чистый воздух и вода заряжают вас бодростью и здоровьем?

Мы только слегка приподняли завесу в мир фракталов, так что продолжение следует…